Eğik Atış

Galileo'nun büyük fikri

Bir topu eğik olarak fırlattığınızda top aynı anda iki şey yapar: ileri gider ve düşer. Galileo Galilei'nin en önemli fikirlerinden biri, bu iki hareketin birbirinden bağımsız olduğuydu. Yerçekimi yalnızca aşağı doğru çeker, topun ileri gidişine karışmaz. Galileo bu sonuçları 1638'de yayımlanan İki Yeni Bilim adlı kitabında anlattı ve eğik atılan bir cismin yolunun bir parabol olduğunu gösterdi.

Etkileşimli modelde "hız bileşenlerini göster" seçeneğini açarsanız bunu doğrudan görebilirsiniz. Mavi ok (yatay hız) uçuş boyunca hiç değişmez. Kırmızı ok (düşey hız) yukarı çıkarken kısalır, tepede sıfır olur, sonra aşağı doğru uzar.

Denklemler

Başlangıç hızı $v_0$ ve atış açısı $\theta$ ise, $t$ anında topun konumu:

• Yatay konum: $x(t) = v_0 \cos\theta \cdot t$
• Düşey konum: $y(t) = v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$

İki denklemden $t$'yi yok edersek yörüngenin denklemini buluruz:

$y = x \tan\theta - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\theta} \cdot x^2$

Bu, $x$'e göre ikinci dereceden bir denklemdir; yani grafiği bir paraboldür.

Üç önemli sonuç

Top atıldığı yükseklikte yere düşüyorsa:

Uçuş süresi: $T = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}$

En yüksek nokta: $H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}$

Menzil (yere düşene kadar alınan yatay yol): $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

Formüllerde kütle yoktur: hava direnci ihmal edilirse ağır ve hafif toplar aynı yolu izler.

Neden 45°?

Menzil formülündeki $\sin(2\theta)$ en büyük değerini $2\theta = 90°$ olduğunda alır, yani $\theta = 45°$'de. Daha dik atışta top uzun süre havada kalır ama yavaş ilerler. Daha yatık atışta hızlı ilerler ama çabuk yere düşer. 45° bu ikisi arasındaki en iyi dengedir.

Aynı yere düşen iki açı: $\sin(2\theta) = \sin(180° - 2\theta)$ olduğu için, toplamı 90° olan iki açı aynı menzili verir. 30° ile 60°, 20° ile 70° aynı noktaya düşer. Dik atılan top daha yükseğe çıkar ve daha uzun süre havada kalır. Etkileşimli modelde bu açıları art arda deneyin: izler aynı noktada buluşur.

Yüksekten atış

Top yerden $h$ yüksekliğinde atılırsa daha uzun süre havada kalır ve menzil şöyle olur:

$R = \frac{v_0 \cos\theta}{g}\left(v_0 \sin\theta + \sqrt{v_0^2 \sin^2\theta + 2 g h}\right)$

Bu durumda en iyi açı 45°'nin biraz altına düşer. Modelde atış yüksekliğini artırın ve "en uzun menzil" göstergesinin nasıl değiştiğini izleyin.

Gülle atıcılar bu yüzden 45°'den daha yatık, genellikle 35–40° civarında atış yapar. Gülle omuz yüksekliğinden bırakılır, ayrıca insan vücudu gülleyi yatığa yakın bir açıyla daha hızlı itebilir.

Hava direnci: gerçek hayat

Buraya kadarki formüller havasız ortam içindir. Havada, topa hareketine ters yönde bir sürüklenme kuvveti etki eder. Bu kuvvet hızın karesiyle büyür:

$F = \frac{1}{2} \rho \, C_d \, A \, v^2$

Burada $\rho$ havanın yoğunluğu, $C_d$ cismin biçimine bağlı bir katsayı, $A$ ise cismin kesit alanıdır.

Hava direnci varken:

• menzil ve tepe yüksekliği azalır,
• yörünge simetrisini kaybeder: top yükselirken daha uzun bir yol alır, sonra daha dik bir açıyla düşer,
• en iyi atış açısı 45°'nin altına iner.

Etkileşimli modeldeki "hava direnci" seçeneği bir futbol topunu (0,43 kg, 22 cm çap) temsil eder. 20 m/s hızla 60° açıyla atılan top havasız ortamda 35 m, havada ise yaklaşık 25 m gider. Hafif ve büyük cisimler hava direncinden daha çok etkilenir. Bu yüzden bir tüy ile bir taşın farkı havada çok büyük, vakumda ise sıfırdır.

Gerçek atışlarda yörünge, formülle değil, bilgisayarda küçük zaman adımlarıyla hesaplanır. Bu etkileşimli model de hava direnci açıkken bu yöntemi kullanır.

Galileo'nun eğik düzlemi

Galileo'nun Pisa Kulesi'nden farklı ağırlıkta toplar bıraktığı hikâyesi büyük olasılıkla bir efsanedir. Asıl deneyleri eğik düzlemlerle yaptı. Düşme çok hızlı olduğu için topları eğimli bir oluktan yuvarlayarak hareketi yavaşlattı ve zamanı su saatiyle ölçtü. Topun aldığı yolun, geçen sürenin karesiyle orantılı olduğunu buldu. Bu, sabit ivmeli hareketin ilk ölçümlerinden biriydi. Aristoteles'ten beri kabul gören "ağır cisim daha hızlı düşer" görüşü bu tür deneylerle sarsıldı.

Spor ve günlük hayat

Bu açıların çoğu 45°'nin altındadır: atış yerden yüksekten yapılır, hava direnci vardır ve sporcu her açıda aynı hızı veremez.

Atılan cisim ve roket

Eğik atışta cisim fırlatıldıktan sonra üzerinde yalnızca yerçekimi (ve hava direnci) kalır; yolu, başlangıç hızı ve açısıyla tamamen belirlenir. Roket ise motoru çalıştığı sürece itme kuvveti uygular ve yolunu değiştirebilir. Çok uzun menzilli atışlarda ise Dünya'nın eğriliği ve yükseklikle azalan yerçekimi de hesaba katılmalıdır.

"Felsefe, gözlerimizin önünde duran şu büyük kitapta, evrende yazılıdır... Bu kitap matematik diliyle yazılmıştır." — Galileo Galilei, Il Saggiatore (1623)

Kaynaklar

• PhET: Eğik Atış Simülasyonu
• HyperPhysics: Trajectories