Limit Kavramı
Bir noktaya yaklaşırken: değer mi, yön mü?
Özet
Limit, bir fonksiyonun belirli bir noktaya yaklaşırken hangi değere gittiğini sorar. Nokta aslında **fonksiyonun tanımlı olduğu yer olmak zorunda değildir** — sadece o noktanın "etrafı" önemli. Soldan ve sağdan yaklaşım aynı değere giderse limit vardır.
Detay
Limit, modern kalkülüsün gizli kahramanıdır. Hem türev (f'(x) = lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h) hem integral (Riemann toplamının limiti) tanımı limit kavramına dayanır. Limit fikri sezgisel görünür ama titiz tanımı (epsilon-delta) 19. yüzyılda Cauchy ve Weierstrass tarafından verilmiştir: "her ε > 0 için bir δ > 0 vardır ki |x − a| < δ olduğunda |f(x) − L| < ε". Sıradan dilde: x'i a'ya yeterince yakın seçerseniz, f(x) L'ye istediğiniz kadar yakın olur. Önemli durum: bir noktada fonksiyon **tanımsız** olsa bile limiti olabilir — örneğin sin(x)/x fonksiyonu x=0'da tanımsızdır ama limit 1'dir; bu yüzden grafik o noktada "delik" görünür ama değer komşuluğa baktığında bellidir.